仿射集

最简单的一个凸集, 若一个集合是仿射集, $\forall x,y \in C, \forall \lambda \in \mathbb{R}, \lambda x + (1-\lambda)y \in C$ 也就是任意两点的直线都在这个集合内.

一个直线就是一个仿射集, 一个二维空间也是一个仿射集, 但是一个圆不是仿射集.

对于取 k 个点, 设 $x_1, x_2, \ldots, x_k$ 是 k 个点, $\lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_k$ 是 k 个实数, 如果满足 $\sum_{i=1}^k \lambda_i = 1$ 且 $\forall i, \lambda_i \in \mathbb{R}$, 那么仿射组合$\sum_{i=1}^k \lambda_i x_i$ 也在这个集合内.

仿射包

仿射包是一个集合的所有仿射组合的集合, 也就是所有满足 $\sum_{i=1}^k \lambda_i = 1$ 且 $\forall i, \lambda_i \in \mathbb{R}$ 的点的集合. 其实就是一个集合最小的仿射集, 包含了所有的仿射组合.

凸集 convex set

当线段在集合内时, 这个集合就是凸集, 也就是 $\forall x,y \in C, \forall \lambda \in [0,1], \lambda x + (1-\lambda)y \in C$. 仿射集是凸集的一个特例, 但是并不是所有的凸集都是仿射集.

凸组合/ 凸包

凸组合是指满足 $\sum_{i=1}^k \lambda_i = 1$ 且$0 \leq \lambda_i \leq 1 \sum_{i=1}^k \lambda_i = 1$ 的点的集合, 也就是所有非负实数的线性组合. 凸包就是一个集合最小的凸集, 包含了所有的凸组合.

锥

$\forall x in C, \lambda \geq 0$, 有 $\lambda x \in C$. 过原点, 然后几条射线过原点, 形成一个锥.

凸锥 convex cone

凸锥是一个锥的特例, 也就是满足 $\forall x,y \in C, \forall \lambda \geq 0, \mu \geq 0$, 有 $\lambda x + \mu y \in C$ 的锥.

凸锥组合/ 凸锥包

凸锥包就是包含一个集合最小的凸锥

几种组合的不同

仿射组合要求是 $\sum \alpha_i = 1$, 且 $\alpha_i$ 可以是负数

凸组合要求是 $\sum \alpha_i = 1$, 且 $\alpha_i$ 是非负数

凸锥组合要求是 $\alpha_i$ 是非负数, 不要求和为1